พัฒนาผู้เรียน

ชื่อโครงงาน                     รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ( The n root of a complex number )

ชื่อผู้จัดทำโครงงาน             นางสาวธัญญลักษณ์   บุญสุภา

                                    นางสาวศิริญาภรณ์   แท่นศิลา

                                    นางสาวกัลยาณี       มีสิงห์  

ชื่อครูที่ปรึกษา                  นางปริสา       วงศ์คำพระ

                                    นางพรพรรณ     ศรีซุย

สถานศึกษา                      โรงเรียนสตรีราชินูทิศ  อำเภอเมือง จังหวัดอุดรธานี   สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 20                      

ระยะเวลาการดำเนินงาน     13 สิงหาคม 2561 – 26 ตุลาคม 2561

 

บทคัดย่อ

 

              โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง “รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน”  มีวัตถุประสงค์ 1)  เพื่อศึกษาการหาค่ารากที่ nของจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์( De Moivre’s Theorem )           2)  เพื่อศึกษาการหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP)  3)  เพื่อเปรียบเทียบการหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนระหว่างการใช้ทฤษฎีบทของ           เดอมัวฟวร์กับการใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP)

 

ผลการดำเนินงาน พบว่า

  1. การศึกษาการหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ ( De Moivre’s Theorem ) เป็นการนำจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปเชิงขั้วมายกกำลัง   โดยมีขั้นตอน    การหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

              1.1  เขียนจำนวนเชิงซ้อน a+bi ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว r(cosq + isinq )

              1.2  กำหนดให้ z เป็นรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน และ เขียน z ในรูป  เมื่อ  

              1.3  แทนค่า k = 0, 1, 2, . . . , n – 1 เพื่อหาค่า  ตามลำดับ                      เมื่อ  เป็นรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

  1. การศึกษาการหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) เป็นการนำจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a, b) มาสร้างเป็นกราฟวงกลม โดยมีขั้นตอนการหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

 

              2.1 สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด O (0, 0) ผ่านจุด P(a, b) แล้วสร้างเวกเตอร์  วัดมุม  ในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ไปยัง   วัดขนาดของเวกเตอร์ OP จะได้  

              2.2 กำหนดให้  เป็นรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมีทั้งหมด n ราก                   

                   2.2.1 สร้างวงกลมให้มีจุดศูนย์กลางที่ O (0, 0) รัศมี =  หน่วย

                    2.2.2 สร้างเวกเตอร์แทนจำนวนเชิงซ้อน  ที่มีขนาดเท่ากับ   หน่วย ทำมุม กับแกน x ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

                    2.2.3 หาค่า    โดยหมุนเวกเตอร์ ไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา ครั้งละ  เรเดียน

  1. การเปรียบเทียบการหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนระหว่างการใช้ทฤษฎีบทของ          เดอมัวฟวร์กับการใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) พบว่า การหาค่ารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน โดยการใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์  สามารถหาค่ารากที่ n ได้โดยใช้สูตร  เมื่อ  แต่ค่ารากบางจำนวนไม่สามารถบอกได้ว่ามีค่าเท่าไร เนื่องจากติดค่า cos  และ sin  และในกรณีที่ n มีค่ามากๆ จะใช้เวลานาน ในการหาค่ารากที่ n  แต่การหาค่ารากที่ n โดยการใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) สามารถหาคำตอบได้รวดเร็วเพราะใช้การหมุนเวกเตอร์ที่แทนด้วยจำนวนเชิงซ้อนด้วยมุมที่มีขนาด  เรเดียน ทำให้หาคำตอบได้รวดเร็ว มองเห็นคำตอบได้ชัดเจน ซึ่งเป็นการช่วยลดขั้นตอนที่ยุ่งยากในการใช้ทฤษฎีของเดอมัวฟวร์ แต่มีข้อจำกัดในเรื่องของเทคโนโลยีเพราะถ้าไม่มีคอมพิวเตอร์และโปรแกรม              The Geometer’s Sketchpad (GSP) ก็ไม่สามารถหาค่ารากที่ n โดยวิธีนี้ได้

              ดังนั้นการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนอาจฝึกใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ในการหาค่ารากแล้วใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad(GSP) ตรวจคำตอบ